10. feladat: Többdimenziós normális eloszlás

• E feladatunk a többdimenziós és az egydimenziós normális eloszlás egy fontos kapcsolatát szemlélteti. A feladat az, hogy állítsunk elő 1000 darab adott várható értékű, adott kovarianciamátrixú 2-dimenziós normális eloszlású pontot és ábrázoljuk őket a síkon. Az előállítást kétféleképp is meg kell valósítani! Először két független normális eloszlású párjából képzett vektorváltozó lineáris transzformációjával, amihez a numpy.random csomag normal függvénye használható (és pl. a numpy.linalg csomag). A transzformáció mátrixát jelölje \(\mathbf M\), ekkor a kovarianciamátrix \(\mathbf{M}\mathbf{M}^T\) lesz. Másodszor a numpy.random csomag multivariate_normal függvényével generáljuk a véletlen pontokat. E függvény argumentumai közt a kovarianciamátrix is szerepel. Végül mindkét ábrára rajzoljuk ki azt az ellipszist is, mely az adatok nagy részét tartalmazza. Az ellipszis félnagytengelyei a transzformációmátrix szinguláris értékeinek 6-szorosai legyenek (az \(\mathbf M\) szinguláris értékei megegyeznek a kovarianciamátrix sajátértékei négyzetgyökeivel). Az egyszerűség kedvéért a várható érték 0, illetve \((0,0)\) legyen.
• A normal.py nevű program parancssorból fusson, parancssori bemenete a transzformációmátrix 4 eleme legyen sorfolytonosan megadva, kimenete két ábra. Például a

  python3 normal.py 2 5 3 0
      

  bemenetre a program eredményeként a \[ \begin{bmatrix}2&5\\3&0\end{bmatrix} \] transzformációmátrixszal számolva a következőhöz hasonló két ábrát adja:
  
• Az ellipszis kirajzolása nehézséget okozhat. Ehhez a tengelyek mérete és a nagytengely hajlásszöge szükséges, aminek kiszámításához az np csomag rad2deg és arctan függvényei is használhatók. Néhány ötlet (nem kell követni, más út is lehetséges):

    from matplotlib.patches import Ellipse    # csomag a rajzoláshoz

    ax = plt.subplot(aspect='equal')          # egyetlen részábra
    ell = Ellipse(xy=(0,0),                   # kitöltendő
                  width=...,
                  height=...,
                  edgecolor='r',
                  angle=... )
    ell.set_facecolor('none')                 # legyen üres
    ax.add_artist(ell)
    plt.plot(x, y, 'x')                       # ezek már a pontok
    plt.axis('equal')
    plt.show()   

• A feladat célja a 2-dimenziós normális eloszlás kovarianciamátrixának és a független normális eloszlásokból álló vektorváltozó lineáris transzformáltja kapcsolatának szemléltetése.